2.2 Средна и моментна скорост, когато дадена точка се движи по права линия

Както вече отбелязахме, равномерното движение е най-простият модел на механично движение. Ако такъв модел не е приложим, трябва да се използват по-сложни модели. За да ги конструираме, трябва да разгледаме понятието скорост в случай на неравномерно движение.

Нека за интервала от време от T 0 до TКоординатата на 1 точка е променена от х 0 до х 1 . Ако изчислим скоростта, използвайки същото правило

\(~\upsilon_(cp) = \frac(\Delta x)(\Delta t) = \frac(x_1 - x_0)(t_1 - t_0) \) , (1)

тогава получаваме количеството (нарича се Средната скорост), който описва скоростта на движение „средно“ - напълно възможно е през първата половина от времето на движение точката да се е преместила на по-голямо разстояние, отколкото през втората.

Средната скорост е физическа величина, равна на съотношението на промяната в координатата на дадена точка към интервала от време, през който е настъпила тази промяна.

Геометричното значение на средната скорост е коефициентът на секущния наклон ABЗакон на анимационните графики.

За по-подробно и по-точно описание на движението можете да зададете две средни стойности на скоростта - за първата половина от времето на движение υ sr1, за второто полувреме - υ cp2 Ако такава точност не ни устройва, тогава е необходимо да разделим интервалите от време допълнително - на четири, осем и т.н. части. В този случай е необходимо да зададете съответно четири, осем и т.н. средни стойности на скоростта. Съгласете се, такова описание става тромаво и неудобно. Отдавна е намерен изход от тази ситуация - той се крие в разглеждането на скоростта като функция на времето.

Нека видим как ще се промени средната скорост с намаляване на периода от време, за който изчисляваме тази скорост. Фигура 6 показва графика на координатите на материална точка спрямо времето. Ще изчислим средната скорост за интервала от време от T 0 до T 1, като последователно се приближава до стойността T 1 към T 0 . Освен това семейството на секущите А 0 А 1 , А 0 А 1 ’, А 0 А 1 '' (фиг. 6), ще се стреми към определено гранично положение на правата А 0 б, която е допирателна към графиката на закона за движение. Представяме два различни случая, за да покажем, че моментната скорост може да бъде по-голяма или по-малка от средната скорост. Тази процедура може да бъде описана и алгебрично, като последователно се изчисляват отношенията \(~\upsilon_(cp) = \frac(x_1 - x_0)(t_1 - t_0)\) , \(~\upsilon"_(cp) = \frac( x" _1 - x_0)(t"_1 - t_0)\) , \(~\upsilon""_(cp) = \frac(x""_1 - x_0)(t""_1 - t_0)\) . В в този случай се оказва, че тези количества се доближават до някаква добре дефинирана стойност. Тази гранична стойност се нарича моментна скорост.

Моментната скорост е отношението на промяната в координатата на точка към интервала от време, през който е настъпила тази промяна, като интервалът от време клони към нула:

\(~\upsilon = \frac(\Delta x)(\Delta t)\) , при Δ T → 0 . (2)

Геометричният смисъл на моментната скорост е коефициентът на наклона на допирателната към графиката на закона за движение.

По този начин ние „свързахме“ стойността на моментната скорост към конкретен момент от времето - зададохме стойността на скоростта в даден момент от времето, в дадена точка в пространството. Така имаме възможност да разглеждаме скоростта на тялото като функция на времето или функция на координатите.

От математическа гледна точка това е много по-удобно от определянето на средни скорости за много кратки периоди от време. Нека обаче помислим дали скоростта има физически смисъл в даден момент от времето? Скоростта е характеристика на движението, в този случай движението на тялото в пространството. За да се запише движение е необходимо да се наблюдава движението за определен период от време. За да измерите скоростта, ви е необходим и период от време. Дори най-модерните скоростомери и радарни инсталации измерват скоростта на движещите се автомобили, макар и за малък (от порядъка на една милионна от секундата) период от време, а не в някакъв момент от време. Следователно изразът „скорост в даден момент“ е неправилен от гледна точка на физиката. В механиката обаче постоянно се използва концепцията за моментна скорост, което е много удобно при математически изчисления. Математически, логически, можем да разгледаме преминаването към границата Δ T→ 0 и физически има минимална възможна стойност на интервала Δ T, за които може да се измери скоростта.

В бъдеще, когато говорим за скорост, ще имаме предвид моментна скорост. Обърнете внимание, че при равномерно движение моментната скорост е равна на предварително определената скорост, тъй като при равномерно движение отношението \(~\frac(\Delta x)(\Delta t)\) не зависи от стойността на интервала от време , следователно остава непроменена за произволни малки Δ T.

Тъй като скоростта може да зависи от времето, тя трябва да се разглежда като функциявреме и го покажете като графика.

Това е векторна физическа величина, числено равна на границата, към която средната скорост клони за безкрайно малък период от време:

С други думи, моментната скорост е радиус векторът във времето.

Векторът на моментната скорост винаги е насочен тангенциално към траекторията на тялото по посока на движението на тялото.

Моментната скорост предоставя точна информация за движението в определен момент от време. Например, при шофиране на автомобил в даден момент водачът поглежда скоростомера и вижда, че устройството показва 100 км/ч. След известно време стрелката на скоростомера показва 90 км/ч, а няколко минути по-късно – 110 км/ч. Всички изброени показания на скоростомера са стойностите на моментната скорост на автомобила в определени моменти от време. Скоростта във всеки момент от времето и във всяка точка от траекторията трябва да се знае при скачване на космически станции, при кацане на самолети и т.н.

Има ли физическо значение понятието „мигновена скорост“? Скоростта е характеристика на промяната в пространството. Въпреки това, за да се определи как се е променило движението, е необходимо да се наблюдава движението известно време. Дори и най-модерните инструменти за измерване на скоростта, като радарни инсталации, измерват скоростта за определен период от време - макар и доста малък, но това все пак е краен интервал от време, а не момент във времето. Изразът „скорост на тялото в даден момент“ не е правилен от гледна точка на физиката. Концепцията за моментна скорост обаче е много удобна в математическите изчисления и се използва постоянно.

Примери за решаване на задачи по темата „Моментална скорост“

ПРИМЕР 1

ПРИМЕР 2

Упражнение	Законът за движение на точка по права линия се дава от уравнението. Намерете моментната скорост на точката 10 секунди след началото на движението.
Решение	Моментната скорост на точка е радиус векторът във времето. Следователно за моментната скорост можем да напишем: 10 секунди след началото на движението моментната скорост ще има стойност:
Отговор	10 секунди след началото на движението моментната скорост на точката е m/s.

ПРИМЕР 3

Упражнение	Тялото се движи по права линия, така че неговата координата (в метри) се променя според закона. След колко секунди след началото на движението тялото ще спре?
Решение	Нека намерим моментната скорост на тялото:

Направихме опит да намалим неравномерното движение до равномерно движение и за това въведохме средна скорост на движение. Но това не ни помогна: знаейки средната скорост, е невъзможно да се реши най-важният проблем на механиката - определянето на позицията на тялото във всеки един момент. Има ли друг начин да се намали неравномерното движение до равномерно движение?

Това, оказва се, не може да стане, защото механичното движение е непрекъснат процес. Непрекъснатостта на движението се състои в това, че ако например тяло (или точка), движещо се праволинейно с нарастваща скорост, се движи от точка А до точка Б, то със сигурност трябва да посети всички междинни точки, разположени между А и В, без всякакви пропуски. Но това не е всичко. Да приемем, че при приближаване до точка А тялото се е движило равномерно със скорост 5 m/s, а след преминаване на точка B също се е движило равномерно, но със скорост 30 m/s. В този случай тялото е прекарало 15 секунди, преминавайки през участък AB. Следователно на сегмента AB скоростта на тялото се промени с 25 m/sec за 15 секунди. Но точно както едно тяло в своето движение не можеше да премине нито една от точките по пътя си, скоростта му трябваше да приеме всички стойности на скоростта между 5 и 30 m/sec. Също без никакви пропуски! Това е непрекъснатостта на механичното движение: нито координатите на тялото, нито скоростта му могат да се променят рязко. От това можем да направим един много важен извод. Има безброй различни стойности на скоростта в диапазона от 5 до 30 m/sec (в математиката се казва, че има безкрайно много стойности). Но между точките A и B има безкраен брой (безкрайно много!) Точки, а 15-секундният интервал от време, през който тялото се е преместило от точка A до точка B, се състои от безкраен брой времеви интервали (времето също тече без скокове !).

Следователно във всяка точка от траекторията на движение и във всеки момент от време тялото има определена скорост.

Скоростта, която има едно тяло в даден момент от времето и в дадена точка от траекторията, се нарича моментна скорост.

При равномерно праволинейно движение скоростта на тялото се определя от съотношението на неговото движение към периода от време, през който е извършено това движение. Какво означава скорост в дадена точка или в даден момент от времето?

Да приемем, че някое тяло (както винаги имаме предвид някаква конкретна точка от това тяло) се движи праволинейно, но не равномерно. Как да изчислим моментната му скорост в дадена точка А от траекторията му? Нека изберем малък участък от тази траектория, включително точка А (фиг. 38). Нека означим малкото преместване на тялото в тази област с

и краткия период от време, през който е завършен, като разделим на получаваме средната скорост в този участък: все пак скоростта се променя непрекъснато и на различни места в участък 1 е различна.

Нека сега намалим дължината на участък 1. Нека изберем участък 2 (виж фиг. 38), който също включва точка А. В този по-малък участък преместването е равно и тялото преминава през него за период от време. е ясно, че в участък 2 скоростта на тялото има време да се промени с по-малка стойност. Но съотношението все още ни дава средна скорост за тази по-малка област. Промяната в скоростта по време на участък 3 (включително точка А), който е по-малък от участъци 1 и 2, е дори по-малък, въпреки че като разделим движението на период от време, отново ще получим средната скорост през този малък участък от траектория. Постепенно ще намалим дължината на участъка, а с това и периода от време, през който тялото преминава през този участък. В крайна сметка ще свием участъка от траекторията, съседен на точка А, до самата точка А, а интервала от време до момента от време. Тогава средната скорост ще се превърне в моментна скорост, тъй като в достатъчно малка област промяната в скоростта ще бъде толкова малка, че може да бъде игнорирана, което означава, че можем да приемем, че скоростта не се променя.

Моментната скорост или скоростта в дадена точка е равна на отношението на достатъчно малко движение в малък участък от траекторията, съседен на тази точка, към малкия период от време, през който се извършва това движение.

Ясно е, че скоростта на равномерното праволинейно движение е както моментната, така и средната му скорост.

Моментната скорост е векторна величина. Посоката му съвпада с посоката на движение (движение) в дадена точка.Техниката, към която прибягнахме, за да изясним смисъла

моментна скорост, следователно се състои от следното. Мислено намаляваме постепенно участъка от траекторията и времето, през което се изминава, докато участъкът вече не може да бъде разграничен от точка, период от време от момент във времето и неравномерното движение от равномерно движение. Тази техника винаги се използва, когато се изучават явления, в които някои непрекъснато променящи се величини играят роля.

Сега трябва да разберем какво трябва да знаем, за да намерим моментната скорост на тяло във всяка точка от траекторията и във всеки момент от времето.

Моментална скорост на движение.

Нека сега се обърнем към една задача, позната ви от физиката. Помислете за движението на точка по права линия. Нека координатата x на точка в момент t е равна на x(t). Както в курса по физика, приемаме, че движението е непрекъснато и плавно. С други думи, говорим за движения, наблюдавани в реалния живот. За категоричност ще приемем, че става дума за автомобил, който се движи по прав участък от магистралата.

Нека поставим задачата: използвайки известната зависимост x(t), определете скоростта, с която се движи автомобилът в момент t (както знаете, тази скорост се нарича моментна скорост). Ако зависимостта x(t) е линейна, отговорът е прост: във всеки момент скоростта е отношението на изминатото разстояние към времето. Ако движението не е равномерно, задачата е по-трудна.

Фактът, че във всеки момент от времето колата се движи с определена (за този момент) скорост е очевиден.Тази скорост може лесно да се установи, като се направи снимка на скоростомера в момент t 0. (Отчитането на скоростомера показва моментната скорост в момент t). За да намерите скоростта v instant (t 0), знаейки x(t), в уроците по физика сте направили следното

Средна скорост за период от време |Δt| от t 0 до t 0 + Δt е както следва:

Както предположихме, тялото се движи плавно. Следователно е естествено да се вярва: ако ?t е много малък, тогава през този период от време скоростта практически не се променя. Но тогава средната скорост (в този интервал) практически не се различава от стойността v instant (t 0), която търсим. Това предполага следния метод за определяне на моментната скорост: намерете v cf (Δt) и вижте до каква стойност е близо, ако приемем, че Δt практически не се различава от нула.

Нека да разгледаме конкретен пример. Нека намерим моментната скорост на тяло, хвърлено нагоре със скорост V 0 . Височината му в момента t се намира по добре познатата формула

1) Първо намерете Δh:

3) Сега ще намалим Δt, доближавайки го до нула. За краткост казваме, че Δt клони към нула. Това се записва по следния начин: Δt → 0 Както е лесно да се разбере, в този случай стойността -gΔt/2 също клони към нула, т.е.

И тъй като величините V 0 и –gt 0, и следователно V 0 -gt 0 са постоянни, от формула (1) получаваме:

И така, моментната скорост на точка в момент t 0 се намира по формулата

За общи цели намирането на скоростта на обект (v) е проста задача: трябва да разделите преместването (s) през определено време (s) на това време (t), тоест използвайте формулата v = s /T. По този начин обаче се получава средната скорост на тялото. Използвайки някои изчисления, можете да намерите скоростта на тялото във всяка точка по пътя. Тази скорост се нарича моментна скорости се изчислява по формулата v = (ds)/(dt), тоест това е производна на формулата за изчисляване на средната скорост на тялото. .

стъпки

Част 1

Изчисляване на моментна скорост

1. За да изчислите моментната скорост, трябва да знаете уравнението, което описва движението на тялото (неговата позиция в определен момент от времето), тоест уравнение, от едната страна на което има s (движението на тялото), а от другата страна има членове с променливата t (време). Например:
   

   s = -1,5t 2 + 10t + 4

   • В това уравнение: Изместване = с. Изместването е пътят, изминат от обект. Например, ако едно тяло се движи 10 m напред и 7 m назад, тогава общото преместване на тялото е 10 - 7 = 3 m (и 10 + 7 = 17 m). Време = T. Обикновено се измерва в секунди.

2. За да намерите моментната скорост на тяло, чието преместване е описано от горното уравнение, трябва да изчислите производната на това уравнение. Производната е уравнение, което ви позволява да изчислите наклона на графиката във всяка точка (във всеки момент от времето). За да намерите производната, диференцирайте функцията, както следва: ако y = a*x n, тогава производната = a*n*x n-1. Това правило важи за всеки член на полинома.

   • С други думи, производната на всеки член с променлива t е равна на произведението на фактора (пред променливата) и степента на променливата, умножена по променливата до степен, равна на първоначалната степен минус 1. свободният член (терминът без променлива, т.е. числото) изчезва, защото се умножава по 0. В нашия пример:
     

     s = -1,5t 2 + 10t + 4
     (2)-1,5t (2-1) + (1)10t 1 - 1 + (0)4t 0
     -3t 1 + 10t 0
     -3t+10

3. Заменете "s" с "ds/dt", за да покажете, че новото уравнение е производната на оригиналното уравнение (т.е. производната на s с t). Производната е наклонът на графиката в определен момент (в определен момент от време). Например, за да намерите наклона на линията, описана от функцията s = -1,5t 2 + 10t + 4 при t = 5, просто заменете 5 в производното уравнение.

   • В нашия пример производното уравнение трябва да изглежда така:
     

     ds/dt = -3t + 10

4. Заместете подходящата t стойност в производното уравнение, за да намерите моментната скорост в определен момент от време. Например, ако искате да намерите моментната скорост при t = 5, просто заменете 5 (за t) в производното уравнение ds/dt = -3 + 10. След това решете уравнението:
   

   ds/dt = -3t + 10
   ds/dt = -3(5) + 10
   ds/dt = -15 + 10 = -5 m/s

   • Моля, обърнете внимание на мерната единица за моментна скорост: m/s. Тъй като ни е дадена стойността на преместването в метри и времето в секунди, а скоростта е равна на отношението на преместването към времето, тогава мерната единица m/s е правилна.

   Част 2

   Графична оценка на моментната скорост

   1. Постройте графика на преместването на тялото.В предишната глава изчислихте моментната скорост с помощта на формула (производно уравнение, което ви позволява да намерите наклона на графиката в определена точка). Като начертаете графика на движението на тяло, можете да намерите неговия наклон във всяка точка и следователно да определите моментната скорост в определен момент от време.

      • Оста Y е изместването, а оста X е времето. Координатите на точките (x, y) се получават чрез заместване на различни стойности на t в първоначалното уравнение на изместването и изчисляване на съответните стойности на s.
      • Графиката може да падне под оста X. Ако графиката на движението на тялото падне под оста X, това означава, че тялото се движи в обратна посока от точката на началото на движението. Обикновено графиката няма да се простира извън оста Y (отрицателни x стойности) - ние не измерваме скоростите на обекти, движещи се назад във времето!

   2. Изберете точка P и точка Q близо до нея на графиката (кривата).За да намерим наклона на графиката в точка P, използваме понятието граница. Граница – състояние, при което стойността на секущата, прекарана през 2 точки P и Q, лежащи на кривата, клони към нула.

      • Например, разгледайте точки P(1,3) и Q(4,7) и изчислете моментната скорост в точка P.

   3. Намерете наклона на отсечката PQ.Наклонът на сегмента PQ е равен на съотношението на разликата в стойностите на координатите "y" на точките P и Q към разликата в стойностите на координатите "x" на точките P и Q. С други думи, H = (y Q - y P)/(x Q - x P), където H – наклон на сегмента PQ. В нашия пример наклонът на сегмента PQ е:
      

      H = (y Q - y P)/(x Q - x P)
      H = (7 - 3)/(4 - 1)
      H = (4)/(3) = 1.33

   4. Повторете процеса няколко пъти, като доближите точка Q до точка P.Колкото по-малко е разстоянието между две точки, толкова по-близо е наклонът на получените сегменти до наклона на графиката в точка P. В нашия пример ще извършим изчисления за точка Q с координати (2,4.8), (1.5,3.95 ) и (1.25,3.49) (координатите на точката P остават същите):
      

      Q = (2,4.8): H = (4,8 - 3)/(2 - 1)
      H = (1,8)/(1) = 1.8

      Q = (1,5,3,95): H = (3,95 - 3)/(1,5 - 1)
      H = (.95)/(.5) = 1.9

      Q = (1,25,3,49): H = (3,49 - 3)/(1,25 - 1)
      H = (.49)/(.25) = 1.96

   5. Колкото по-малко е разстоянието между точките P и Q, толкова по-близо е стойността на H до наклона на графиката в точка P.Ако разстоянието между точките P и Q е изключително малко, стойността на H ще бъде равна на наклона на графиката в точка P. Тъй като не можем да измерим или изчислим изключително малкото разстояние между две точки, графичният метод дава оценка на наклонът на графиката в точка P.

      • В нашия пример, когато Q се приближи до P, получихме следните стойности на H: 1,8; 1.9 и 1.96. Тъй като тези числа клонят към 2, можем да кажем, че наклонът на графиката в точка P е 2.
      • Запомнете, че наклонът на графиката в дадена точка е равен на производната на функцията (от която е начертана графиката) в тази точка. Графиката показва движението на тялото във времето и, както беше отбелязано в предишния раздел, моментната скорост на тялото е равна на производната на уравнението за преместване на това тяло. Така можем да заявим, че при t = 2 моментната скорост е 2 m/s (това е приблизителна оценка).

   Част 3

   Примери

   1. Изчислете моментната скорост при t = 4, ако движението на тялото се описва с уравнението s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9.Този пример е подобен на задачата от първия раздел, с единствената разлика, че тук имаме уравнение от трети ред (а не второ).

      • Първо, нека изчислим производната на това уравнение:
        

        s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9
        s = (3)5t (3 - 1) - (2)3t (2 - 1) + (1)2t (1 - 1) + (0)9t 0 - 1
        15t (2) - 6t (1) + 2t (0)
        15t (2) - 6t + 2

        t = 1,01: s = 4(1,01) 2 - (1,01)
        4(1,0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, така че Q = (1,01,3,0704)

      • Сега нека изчислим H:
        

        Q = (2.14): H = (14 - 3)/(2 - 1)
        H = (11)/(1) = 11

        Q = (1,5,7,5): H = (7,5 - 3)/(1,5 - 1)
        H = (4,5)/(,5) = 9

        Q = (1.1,3.74): H = (3,74 - 3)/(1,1 - 1)
        H = (.74)/(.1) = 7.3

        Q = (1,01,3,0704): H = (3,0704 - 3)/(1,01 - 1)
        H = (.0704)/(.01) = 7.04

      • Тъй като получените стойности на H клонят към 7, можем да кажем, че моментната скорост на тялото в точка (1.3) е равна на 7 m/s (оценена стойност).
   • За да намерите ускорението (промяната в скоростта с течение на времето), използвайте метода в част първа, за да получите производната на функцията на изместване. След това отново вземете производната на получената производна. Това ще ви даде уравнението за намиране на ускорението в даден момент - всичко, което трябва да направите, е да въведете стойността за времето.
   • Уравнението, описващо y (отместване) спрямо x (време), може да бъде много просто, например: y = 6x + 3. В този случай наклонът е постоянен и не е необходимо да приемате производна, за да го намерите. Според теорията на линейните графики техният наклон е равен на коефициента на променливата x, тоест в нашия пример = 6.
   • Преместването е като разстоянието, но има определена посока, което го прави векторна величина. Преместването може да бъде отрицателно, докато разстоянието ще бъде само положително.