Важно!

Функцию вида «y = kx + b » называют линейной функцией.

Буквенные множители «k » и «b » называют числовыми коэффициентами .

Вместо «k » и «b » могут стоять любые числа (положительные, отрицательные или дроби).

Другими словами, можно сказать, что «y = kx + b » — это семейство всевозможных функций, где вместо «k » и «b » стоят числа.

Примеры функций типа «y = kx + b ».

• y = 5x + 3
• y = −x + 1
• y = x − 2 k =

  2

  3

  b = −2 y = 0,5x k = 0,5 b = 0

  Обратите особое внимание на функцию «y = 0,5x » в таблице. Часто совершают ошибку при поиске в ней числового коэффициента «b ».

  Рассматривая функцию «y = 0,5x », неверно утверждать, что числового коэффициента «b » в функции нет.

  Числовый коэффициент «b » присутствет в функции типа «y = kx + b » всегда. В функции «y = 0,5x » числовый коэффициент «b » равен нулю .

  Как построить график линейной функции
  «y = kx + b »

  Запомните!

  Графиком линейной функции «y = kx + b » является прямая .

  Так как графиком функции «y = kx + b » является прямая линия , функцию называют линейной функцией .

  Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательств), что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

  Исходя из аксиомы выше следует, что чтобы построить график функции вида
  «у = kx + b » нам достаточно будет найти всего две точки.

  Для примера построим график функции «y = −2x + 1 ».

  Найдем значение функции «y » для двух произвольных значений «x ». Подставим, например, вместо «x » числа «0 » и «1 ».

  Важно!

  Выбирая произвольные числовые значения вместо «x », лучше брать числа «0 » и «1 ». С этими числами легко выполнять расчеты.

  Полученные значения «x » и «y » — это координаты точек графика функции.

  Запишем полученные координаты точек «y = −2x + 1 » в таблицу.

  Отметим полученные точки на системе координат.

  
  

  Теперь проведем прямую через отмеченные точки. Эта прямая будет являться графиком функции «y = −2x + 1 ».

  
  

  Как решать задачи на
  линейную функцию «y = kx + b »

  Рассмотрим задачу.

  Построить график функции «y = 2x + 3 ». Найти по графику:

  1. значение «y » соответствующее значению «x » равному −1; 2; 3; 5 ;
  2. значение «x », если значение «y » равно 1; 4; 0; −1 .

  Вначале построим график функции «y = 2x + 3 ».

  Используем правила, по которым мы выше. Для построения графика функции «y = 2x + 3 » достаточно найти всего две точки.

  Выберем два произвольных числовых значения для «x ». Для удобства расчетов выберем числа «0 » и «1 ».

  Выполним расчеты и запишем их результаты в таблицу.

  Отметим полученные точки на прямоугольной системе координат.

  

  Соединим полученные точки прямой. Проведенная прямая будет являться графиком функции «y = 2x + 3 ».

  

  Теперь работаем с построенным графиком функции «y = 2x + 3 ».

  Требуется найти значение «y », соответствующее значению «x »,
  которое равно −1; 2; 3; 5 .

  • Ox » к нулю (x = 0) ;
  • подставить вместо «x » в формулу функции ноль и найти значение «y »;
  • Oy » .

  Подставим вместо «x » в формулу функции «y = −1,5x + 3 » число ноль.

  Y(0) = −1,5 · 0 + 3 = 3

  
  (0; 3) — координаты точки пересечения графика функции «y = −1,5x + 3 » c осью «Oy ».

  Запомните!

  Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции
  с осью «Ox » (осью абсцисс) нужно:

  • приравнять координату точки по оси «Oy » к нулю (y = 0) ;
  • подставить вместо «y » в формулу функции ноль и найти значение «x »;
  • записать полученные координаты точки пересечения с осью «Oy » .

  Подставим вместо «y » в формулу функции «y = −1,5x + 3 » число ноль.

  0 = −1,5x + 3
  1,5x = 3 | :(1,5)
  x = 3: 1,5
  x = 2

  
  (2; 0) — координаты точки пересечения графика функции «y = −1,5x + 3 » c осью «Ox ».

  Чтобы было проще запомнить, какую координату точки нужно приравнивать к нулю, запомните «правило противоположности».

  Важно!

  Если нужно найти координаты точки пересечения графика с осью «Ox » , то приравниваем «y » к нулю.

  И наооборот. Если нужно найти координаты точки пересечениа графика с осью «Oy » , то приравниваем «x » к нулю.

Данный видеоурок по курсу математики познакомит вас со свойствами функции y = k/x, при условии, что значение k будет отрицательным.
В наших предыдущих видеоуроках вы познакомились с самой функцией y равно k деленное на x, ее графиком, который называется «гипербола», а также свойствами графика при положительном значении k. Данное видео познакомит вас со свойствами коэффициента k при отрицательном его значении, то есть меньше нуля.

Свойства равенства, при котором y равняется коэффициенту k, деленному на независимую переменную x, при условии, что коэффициент имеет отрицательное значение, представлены в видеоматериале.
При описании свойств этой функции, прежде всего, опираются на ее геометрическую модель - гиперболу.

Свойство 1. Область определения функции состоит из всех чисел, однако следует, что x не может равняться 0, потому что на ноль делить нельзя.
Свойство 2. у больше нуля при условии, что х меньше нуля; и, соответственно, наоборот, у меньше нуля при значении, когда х находится в пределах больше нуля и до бесконечности.
Свойство 3. Функция возрастает на промежутках от минус бесконечности до нуля и от нуля до плюс бесконечности: (-∞, 0) и (0, +∞).
Свойство 4. Функция является бесконечной, так как не имеет ограничений ни снизу, ни сверху.
Свойство 5. Ни наименьшего, ни наибольшего значений у функции нет, поскольку она бесконечна.
Свойство 6. Функция является непрерывной на промежутках от минус бесконечности до нуля (-∞, 0) и от нуля до бесконечности (0, +∞), при этом следует обозначить, что она претерпевает разрыв в том случае, когда х имеет значение ноль.
Свойство 7. Область значений функций является объединением двух открытых лучей от минус бесконечности до нуля (-∞, 0) и от нуля до плюс бесконечности (0, +∞).

Далее в видео приводятся примеры. Мы рассмотрим только некоторые из них, остальные рекомендуем посмотреть самостоятельно в предоставленных видеоматериалах.
Итак, рассмотрим первый пример. Необходимо решить уравнение следующего вида: 4/x = 5-x.
Для большего удобства разделим решение данного равенства на несколько этапов:
1) Для начала записываем наше равенство в виде двух отдельных уравнений: y = 4/x и y = 5-x/
2) Затем, как показано в видео, строим график функции y = 4/x, который является гиперболой.
3) Далее строим график линейной функции. В данном случае это прямая, которую можно построить по двум точкам. Графики представлены в нашем видеоматериале.
4) Уже по самому чертежу определяем точки, в которых пересекаются оба наших графика, и гипербола, и прямая. Следует обозначить, что они пересекаются в точках А (1; 4) и В (4; 1). Проверка полученных результатов показывает, что они верны. Данное уравнение может иметь два корня 1 и 4.

Следующий пример, рассмотренный в видеоуроке, имеет следующее задание: построить и прочитать график функции у = f(x), где f(x) = -x2, в случае если переменная x находится в пределах от больше или равно -2 и до больше или равно 1, и y = -1/x, в случае если x больше единицы.
Решение проводим в несколько этапов. Сначала строим график функции y = -x2, который называется «парабола», и выделяем ее часть на участке от - 2 до 1. Для просмотра графика обратитесь к видео.

Следующим этапом является построение гиперболы для равенства y = -1/x, и выделяем ее часть на открытом луче от единицы до бесконечности. Далее производим смещение обоих графиков в одной системе координат. В результате мы получаем график функции у = f(x).
Далее следует прочитать график функции у = f(x):
1. Область определения функции - это луч на участке от -2 до +∞.
2. у равняется нулю в том случае, когда х равняется нулю; у меньше нуля при значении x больше или равно -2 и меньше нуля, а также при x больше нуля.
3. Функция возрастает на участке от -2 до 0 и на участке от 1 и до бесконечности, график показывает убывание на отрезке от нуля до единицы.
4. Функция с заданными параметрами является ограниченной как снизу, так и сверху.
5. Наименьшее значение переменной y равняется - 4 и постигается при значении х на уровне - 2; и также наибольшим значением y является 0, который достигается при значении х равному нулю.
6. В заданной области определения наша функция является непрерывной.
7. Область значения функции располагается на отрезке от -4 до 0.
8. Функция выпукла вверх на отрезке от -2 до 1 и на луче от 1 до бесконечности.
С оставшимися примерами вы сможете ознакомиться самостоятельно, просмотрев представленное видео.

С чем и связано её название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Если все переменные x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} и коэффициенты a 0 , a 1 , a 2 , … , a n {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}} - вещественные числа, то графиком линейной функции в (n + 1) {\displaystyle (n+1)} -мерном пространстве переменных x 1 , x 2 , … , x n , y {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},y} является n {\displaystyle n} -мерная гиперплоскость

  y = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n {\displaystyle y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}}

  в частности при n = 1 {\displaystyle n=1} - прямая линия на плоскости.

  Абстрактная алгебра

  Термин «линейная функция», или, точнее, «линейная однородная функция», часто применяется для линейного отображения векторного пространства X {\displaystyle X} над некоторым полем k {\displaystyle k} в это поле, то есть для такого отображения f: X → k {\displaystyle f:X\to k} , что для любых элементов x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} и любых α , β ∈ k {\displaystyle \alpha ,\beta \in k} справедливо равенство

  f (α x + β y) = α f (x) + β f (y) {\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)}

  причём в этом случае вместо термина «линейная функция» используются также термины линейный функционал и линейная форма - также означающие линейную однородную функцию определённого класса.

  Линейной функцией называется функция вида y = kx + b, заданная на множестве всех действительных чисел. Здесь k - угловой коэффициент (действительное число), b - свободный член (действительное число), x - независимая переменная.

  В частном случае, если k = 0, получим постоянную функцию y = b, график которой есть прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами (0; b).

  Если b = 0, то получим функцию y = kx, которая является прямой пропорциональностью.

  Геометрический смысл коэффициента b - длина отрезка, который отсекает прямая по оси Oy, считая от начала координат.

  Геометрический смысл коэффициента k - угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox, считается против часовой стрелки.

  Свойства линейной функции:

  1) Область определения линейной функции есть вся вещественная ось;

  2) Если k ≠ 0, то область значений линейной функции есть вся вещественная ось. Если k = 0, то область значений линейной функции состоит из числа b;

  3) Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b.

  a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b - четная;

  b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx - нечетная;

  c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b - функция общего вида;

  d) b = 0, k = 0, следовательно y = 0 - как четная, так и нечетная функция.

  4) Свойством периодичности линейная функция не обладает;

  Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, следовательно (-b/k; 0) - точка пересечения с осью абсцисс.

  Oy: y = 0k + b = b, следовательно (0; b) - точка пересечения с осью ординат.

  Замечание.Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х. Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в ноль ни при каких значениях переменной х.

  6) Промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k.

  a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

  y = kx + b - положительна при x из (-b/k; +∞),

  y = kx + b - отрицательна при x из (-∞; -b/k).

  b) k < 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

  y = kx + b - положительна при x из (-∞; -b/k),

  y = kx + b - отрицательна при x из (-b/k; +∞).

  c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения,

  k = 0, b < 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

  7) Промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k.

  k > 0, следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения,

  k < 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

  8) Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b. Ниже приведена таблица, которая наглядно это иллюстрирует рисунок 1. (Рис.1)

  Пример.Рассмотрим следующую линейную функцию: y = 5x - 3.

  3) Функция общего вида;

  4) Непериодическая;

  5) Точки пересечения с осями координат:

  Ox: 5x - 3 = 0, x = 3/5, следовательно (3/5; 0) - точка пересечения с осью абсцисс.

  Oy: y = -3, следовательно (0; -3) - точка пересечения с осью ординат;

  6) y = 5x - 3 - положительна при x из (3/5; +∞),

  y = 5x - 3 - отрицательна при x из (-∞; 3/5);

  7) y = 5x - 3 возрастает на всей области определения;

  

  сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.