Pomembno!

Funkcija oblike "y = kx + b" se imenuje linearna funkcija.

Faktorja črke "k" in "b" se imenujeta številčni koeficienti.

Namesto "k" in "b" so lahko poljubna števila (pozitivna, negativna ali ulomki).

Z drugimi besedami, lahko rečemo, da je "y = kx + b" družina vseh možnih funkcij, kjer so namesto "k" in "b" števila.

Primeri funkcij, kot je "y = kx + b".

• y = 5x + 3
• y = −x + 1
• y = x − 2 k =

  2

  3

  b = −2 y = 0,5x k = 0,5 b = 0

  Bodite posebno pozorni na funkcijo "y = 0,5x" v tabeli. Pogosto naredijo napako, ko iščejo številčni koeficient "b".

  Če upoštevamo funkcijo "y = 0,5x", je napačno reči, da v funkciji ni numeričnega koeficienta "b".

  Numerični koeficient "b" je vedno prisoten v funkciji, kot je "y = kx + b", vedno. V funkciji “y = 0,5x” je numerični koeficient “b” enak nič.

  Kako narisati graf linearne funkcije
  "y = kx + b"

  Ne pozabite!

  Graf linearne funkcije “y = kx + b” je ravna črta.

  Ker je graf funkcije "y = kx + b" ravna črta, se funkcija imenuje linearna funkcija.

  Iz geometrije se spomnimo aksioma (izjava, ki ne zahteva dokaza), da lahko skozi kateri koli dve točki narišete ravno črto in poleg tega samo eno.

  Na podlagi zgornjega aksioma sledi, da za naris funkcije oblike
  “y = kx + b” bo dovolj, da najdemo samo dve točki.

  Na primer zgradimo graf funkcije"y = −2x + 1".

  Poiščimo vrednost funkcije "y" za dve poljubni vrednosti "x". Zamenjajmo na primer namesto "x" številki "0" in "1".

  Pomembno!

  Pri izbiri poljubnih številskih vrednosti namesto "x" je bolje vzeti številki "0" in "1". S temi številkami je enostavno narediti izračune.

  Dobljeni vrednosti "x" in "y" sta koordinati točk na grafu funkcije.

  Dobljene koordinate točk “y = −2x + 1” zapišimo v tabelo.

  Dobljene točke označimo na koordinatnem sistemu.

  
  

  Zdaj pa skozi označene točke narišimo ravno črto. Ta vrstica bo graf funkcije "y = −2x + 1".

  
  

  Kako rešiti težave na
  linearna funkcija “y = kx + b”

  Razmislimo o problemu.

  Graf funkcije "y = 2x + 3". Poišči po grafu:

  1. vrednost "y", ki ustreza vrednosti "x", ki je enaka −1; 2; 3; 5 ;
  2. vrednost "x", če je vrednost "y" 1; 4; 0; −1.

  Najprej narišimo funkcijo "y = 2x + 3".

  Uporabljamo pravila, po katerih smo nadrejeni. Za graf funkcije "y = 2x + 3" je dovolj, da najdete samo dve točki.

  Izberimo dve poljubni številski vrednosti za "x". Za udobje izračunov bomo izbrali številki "0" in "1".

  Izvedimo izračune in njihove rezultate zapišimo v tabelo.

  Dobljene točke označimo na pravokotnem koordinatnem sistemu.

  

  Povežimo nastale točke z ravno črto. Narisana ravna črta bo graf funkcije "y = 2x + 3".

  

  Zdaj delamo s konstruiranim grafom funkcije "y = 2x + 3".

  Najti morate vrednost "y", ki ustreza vrednosti "x",
  kar je enako −1; 2; 3; 5.

  • vol" na nič (x = 0);
  • v funkcijski formuli zamenjajte "x" z ničlo in poiščite vrednost "y";
  • oj".

  Namesto "x" v formuli funkcije "y = −1,5x + 3" nadomestimo številko nič.

  Y(0) = −1,5 0 + 3 = 3

  
  (0; 3) - koordinate točke presečišča grafa funkcije "y = −1,5x + 3" z osjo "Oy".

  Ne pozabite!

  Iskanje koordinat presečišča grafa funkcije
  z osjo" vol"(x os) potrebujete:

  • izenačite koordinato točke vzdolž osi "". oj" na nič (y = 0);
  • zamenjajte ničlo namesto "y" v formuli funkcije in poiščite vrednost "x";
  • zapišite dobljene koordinate presečišča z osjo " oj".

  Namesto "y" v formuli funkcije "y = −1,5x + 3" nadomestimo številko nič.

  0 = −1,5x + 3
  1,5x = 3 | :(1,5)
  x = 3 : 1,5
  x = 2

  
  (2; 0) - koordinate točke presečišča grafa funkcije "y = −1,5x + 3" z osjo "Ox".

  Da bi si lažje zapomnili, katero koordinato točke je treba enačiti z nič, se spomnite "pravila nasprotij".

  Pomembno!

  Če morate najti koordinate točke presečišča grafa z osjo " vol", potem »y« enačimo z nič.

  In obratno. Če morate najti koordinate točke presečišča grafa z osjo "". oj", potem enačimo "x" z nič.

Ta video lekcija za tečaj matematike vas bo seznanila z lastnostmi funkcije y = k/x, če je vrednost k negativna.
V naših prejšnjih video lekcijah ste se seznanili s funkcijo y enako k deljeno z x, njenim grafom, ki se imenuje "hiperbola", kot tudi z lastnostmi grafa za pozitivno vrednost k. Ta videoposnetek vam bo predstavil lastnosti koeficienta k, ko je njegova vrednost negativna, to je manjša od nič.

Lastnosti enakosti, pri kateri je y enak koeficientu k, deljenem z neodvisno spremenljivko x, pod pogojem, da je koeficient negativen, so predstavljene v videu.
Pri opisovanju lastnosti te funkcije se najprej zanašajo na njen geometrijski model - hiperbolo.

Lastnost 1. Domena funkcije je sestavljena iz vseh števil, vendar iz tega sledi, da x ne more biti enak 0, ker ne morete deliti z nič.
Lastnost 2. y je večji od nič, če je x manjši od nič; in v skladu s tem, nasprotno, y je manjši od nič pri vrednosti, ko je x v območju, ki je večje od nič in do neskončnosti.
Lastnost 3. Funkcija narašča na intervalih od minus neskončnosti do nič in od nič do plus neskončnosti: (-∞, 0) in (0, +∞).
Lastnost 4. Funkcija je neskončna, saj nima nobenih omejitev niti od spodaj niti od zgoraj.
Lastnost 5. Funkcija nima niti najmanjše niti največje vrednosti, saj je neskončna.
Lastnost 6. Funkcija je zvezna na intervalih od minus neskončnosti do nič (-∞, 0) in od nič do neskončnosti (0, +∞), pri čemer je treba upoštevati, da je podvržena diskontinuiteti v primeru, ko ima x vrednost nič.
Lastnost 7. Območje funkcij je unija dveh odprtih žarkov od minus neskončnosti do nič (-∞, 0) in od nič do plus neskončnosti (0, +∞).

Naslednji video prikazuje primere. Ogledali si jih bomo le nekaj, ostale pa priporočamo, da si ogledate sami v priloženih videih.
Torej, poglejmo prvi primer. Rešiti je treba naslednjo enačbo: 4/x = 5-x.
Za večjo udobje razdelimo rešitev te enakosti na več stopenj:
1) Najprej našo enakost zapišemo v obliki dveh ločenih enačb: y = 4/x in y = 5-x/
2) Nato, kot je prikazano v videu, narišemo funkcijo y = 4/x, ki je hiperbola.
3) Nato zgradimo graf linearne funkcije. V tem primeru je ravna črta, ki jo je mogoče sestaviti iz dveh točk. Grafi so predstavljeni v našem video materialu.
4) Na podlagi same risbe določimo točke, v katerih se sekata oba naša grafa, tako hiperbola kot premica. Upoštevati je treba, da se sekata v točkah A (1; 4) in B (4; 1). Preverjanje dobljenih rezultatov pokaže, da so pravilni. Ta enačba ima lahko dva korena 1 in 4.

Naslednji primer, obravnavan v video lekciji, ima naslednjo nalogo: sestavite in preberite graf funkcije y = f(x), kjer je f(x) = -x2, če je spremenljivka x v območju od več kot ali enako -2 in večje od ali enako 1 in y = -1/x, če je x večji od ena.
Rešitev se izvaja v več fazah. Najprej zgradimo graf funkcije y = -x2, ki se imenuje "parabola", in izberemo njen del v območju od - 2 do 1. Če si želite ogledati graf, glejte video.

Naslednji korak je sestaviti hiperbolo za enakost y = -1/x in izbrati njen del na odprtem žarku od ena do neskončnosti. Nato premaknemo oba grafa v isti koordinatni sistem. Kot rezultat dobimo graf funkcije y = f(x).
Nato preberite graf funkcije y = f(x):
1. Definicijsko področje funkcije je žarek v območju od -2 do +∞.
2. y je enak nič v primeru, ko je x enak nič; y je manjši od nič, ko je x večji ali enak -2 in manjši od nič ter tudi, ko je x večji od nič.
3. Funkcija narašča v območju od -2 do 0 in v območju od 1 do neskončnosti, graf kaže padanje območja od nič do ena.
4. Funkcija z danimi parametri je omejena tako od spodaj kot od zgoraj.
5. Najmanjša vrednost spremenljivke y je - 4 in je dosežena, ko je vrednost x na ravni - 2; in tudi največja vrednost y je 0, kar se doseže, ko je vrednost x enaka nič.
6. V dani domeni definicije je naša funkcija zvezna.
7. Območje vrednosti funkcije se nahaja v intervalu od -4 do 0.
8. Funkcija je konveksna navzgor na odseku od -2 do 1 in na žarku od 1 do neskončnosti.
S preostalimi primeri se lahko seznanite z ogledom predstavljenega videa.

Na kar je povezano njegovo ime. To zadeva realno funkcijo ene realne spremenljivke.

Enciklopedični YouTube

• 1 / 5

  Če vse spremenljivke x 1, x 2, …, x n (\displaystyle x_(1),x_(2),\pike,x_(n)) in kvote a 0 , a 1 , a 2 , … , a n (\displaystyle a_(0),a_(1),a_(2),\pike ,a_(n)) so realna števila, potem je graf linearne funkcije v (n + 1) (\displaystyle (n+1))-dimenzijski prostor spremenljivk x 1, x 2, …, x n, y (\displaystyle x_(1),x_(2),\pike,x_(n),y) je n (\displaystyle n)-dimenzijska hiperravnina

  y = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n (\displaystyle y=a_(0)+a_(1)x_(1)+a_(2)x_(2)+\pike +a_ (n)x_(n))

  zlasti ko n = 1 (\displaystyle n=1)- premica na ravnini.

  Abstraktna algebra

  Izraz "linearna funkcija" ali natančneje "linearna homogena funkcija" se pogosto uporablja za opis linearne predstavitve vektorskega prostora X (\displaystyle X)čez neko polje k (\displaystyle k) v to polje, torej za tak prikaz f: X → k (\displaystyle f:X\do k), ki za katere koli elemente x , y ∈ X (\displaystyle x,y\in X) in katerikoli α , β ∈ k (\displaystyle \alpha ,\beta \in k) enakost je res

  f (α x + β y) = α f (x) + β f (y) (\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y))

  Poleg tega se v tem primeru namesto izraza "linearna funkcija" uporabljata tudi izraza linearna funkcionalna in linearna forma - kar pomeni tudi linearna homogena funkcijo določenega razreda.

  Linearna funkcija je funkcija oblike y = kx + b, definirana na množici vseh realnih števil. Tukaj je k naklon (realno število), b je odsek (realno število), x je neodvisna spremenljivka.

  V konkretnem primeru, če je k = 0, dobimo konstantno funkcijo y = b, katere graf je premica, vzporedna z osjo Ox, ki poteka skozi točko s koordinatami (0; b).

  Če je b = 0, potem dobimo funkcijo y = kx, kar je direktna sorazmernost.

  Geometrijski pomen koeficienta b je dolžina odseka, ki ga premica odreže vzdolž osi Oy, šteto od izhodišča.

  Geometrijski pomen koeficienta k je kot naklona premice v pozitivno smer osi Ox, izračunan v nasprotni smeri urinega kazalca.

  Lastnosti linearne funkcije:

  1) Področje definicije linearne funkcije je celotna realna os;

  2) Če je k ≠ 0, potem je obseg vrednosti linearne funkcije celotna realna os. Če je k = 0, potem je obseg vrednosti linearne funkcije sestavljen iz števila b;

  3) Parnost in lihost linearne funkcije sta odvisni od vrednosti koeficientov k in b.

  a) b ≠ 0, k = 0, torej y = b - sodo;

  b) b = 0, k ≠ 0, torej y = kx - liho;

  c) b ≠ 0, k ≠ 0, zato je y = kx + b funkcija splošne oblike;

  d) b = 0, k = 0, zato je y = 0 hkrati soda in liha funkcija.

  4) Linearna funkcija nima lastnosti periodičnosti;

  Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, zato je (-b/k; 0) točka presečišča z abscisno osjo.

  Oy: y = 0k + b = b, torej je (0; b) točka presečišča z ordinato.

  Opomba: Če je b = 0 in k = 0, potem funkcija y = 0 izgine za katero koli vrednost spremenljivke x. Če je b ≠ 0 in k = 0, potem funkcija y = b ne izniči za nobeno vrednost spremenljivke x.

  6) Intervali konstantnega predznaka so odvisni od koeficienta k.

  a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

  y = kx + b - pozitivno pri x od (-b/k; +∞),

  y = kx + b - negativno za x od (-∞; -b/k).

  b)k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

  y = kx + b - pozitivno pri x od (-∞; -b/k),

  y = kx + b - negativno za x od (-b/k; +∞).

  c) k = 0, b > 0; y = kx + b je pozitiven skozi celotno domeno definicije,

  k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

  7) Intervali monotonosti linearne funkcije so odvisni od koeficienta k.

  k > 0, zato y = kx + b narašča skozi celotno domeno definicije,

  k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

  8) Graf linearne funkcije je premica. Za sestavo ravne črte je dovolj poznati dve točki. Položaj ravne črte na koordinatni ravnini je odvisen od vrednosti koeficientov k in b. Spodaj je tabela, ki to jasno prikazuje, Slika 1. (Slika 1)

  Primer: Razmislite o naslednji linearni funkciji: y = 5x - 3.

  3) Splošna funkcija;

  4) neperiodično;

  5) Presečišča s koordinatnimi osmi:

  Ox: 5x - 3 = 0, x = 3/5, zato je (3/5; 0) točka presečišča z osjo x.

  Oy: y = -3, torej je (0; -3) točka presečišča z ordinato;

  6) y = 5x - 3 - pozitivno za x iz (3/5; +∞),

  y = 5x - 3 - negativno pri x od (-∞; 3/5);

  7) y = 5x - 3 narašča skozi celotno domeno definicije;

  

  spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.