Trenutna hitrost gibanja.

Obrnimo se zdaj na problem, ki vam je znan iz fizike. Razmislite o gibanju točke vzdolž ravne črte. Naj bo koordinata x točke v času t enaka x(t). Kot pri tečaju fizike predpostavljamo, da je gibanje zvezno in gladko. Z drugimi besedami, govorimo o gibanjih, opaženih v resničnem življenju. Za natančnost bomo predpostavili, da govorimo o avtomobilu, ki se premika po ravnem odseku avtoceste.

Postavimo nalogo: z znano odvisnostjo x(t) določimo hitrost, s katero se avtomobil giblje v času t (kot veste, se ta hitrost imenuje trenutna hitrost). Če je odvisnost x(t) linearna, je odgovor preprost: v katerem koli trenutku je hitrost razmerje med prevoženo razdaljo in časom. Če gibanje ni enakomerno, je naloga težja.

Dejstvo, da se avto v katerem koli trenutku giblje z določeno (za ta trenutek) hitrostjo, je očitno, da to hitrost zlahka ugotovimo s fotografiranjem merilnika hitrosti v času t 0. (Odčitavanje merilnika hitrosti kaže trenutno hitrost v trenutku t). Da bi našli hitrost v trenutek (t 0) ob poznavanju x(t), ste pri pouku fizike naredili naslednje

Povprečna hitrost v časovnem obdobju |Δt| od t 0 do t 0 + Δt je naslednja:

Kot smo domnevali, se telo premika gladko. Zato je naravno verjeti: če je ?t zelo majhen, se v tem časovnem obdobju hitrost praktično ne spremeni. Toda takrat se povprečna hitrost (v tem intervalu) praktično ne razlikuje od vrednosti v instant (t 0), ki jo iščemo. To predlaga naslednjo metodo za določanje trenutne hitrosti: poiščite v cf (Δt) in poglejte, kateri vrednosti je blizu, če predpostavimo, da se Δt praktično ne razlikuje od nič.

Poglejmo konkreten primer. Poiščimo trenutno hitrost telesa, vrženega navzgor s hitrostjo V 0 . Njegovo višino v trenutku t dobimo po znani formuli

1) Najprej poiščite Δh:

3) Zdaj bomo zmanjšali Δt in ga približali ničli. Zaradi kratkosti rečemo, da Δt teži k nič. To je zapisano takole: Δt → 0 Kot je lahko razumeti, v tem primeru tudi vrednost -gΔt/2 teži k nič, tj.

In ker sta količini V 0 in –gt 0 in torej V 0 -gt 0 konstantni, iz formule (1) dobimo:

Tako se trenutna hitrost točke v času t 0 najde s formulo

2.2 Povprečna in trenutna hitrost, ko se točka giblje premočrtno

Kot smo že omenili, je enakomerno gibanje najpreprostejši model mehanskega gibanja. Če tak model ni uporaben, je treba uporabiti bolj zapletene modele. Za njihovo konstrukcijo moramo upoštevati koncept hitrosti v primeru neenakomernega gibanja.

Naj za časovni interval od t 0 do t Koordinata 1 točke se je spremenila od x 0 do x 1. Če izračunamo hitrost po istem pravilu

\(~\upsilon_(cp) = \frac(\Delta x)(\Delta t) = \frac(x_1 - x_0)(t_1 - t_0) \) , (1)

potem dobimo količino (imenuje se Povprečna hitrost), ki opisuje hitrost gibanja "povprečno" - povsem možno je, da se je v prvi polovici časa gibanja točka premaknila na večjo razdaljo kot v drugi.

Povprečna hitrost je fizikalna količina, ki je enaka razmerju med spremembo koordinate točke in časovnim intervalom, v katerem se je ta sprememba zgodila.

Geometrijski pomen povprečne hitrosti je koeficient sekante naklona AB Zakon gibljive grafike.

Za podrobnejši, natančnejši opis gibanja lahko nastavite dve povprečni vrednosti hitrosti - za prvo polovico časa gibanja υ sr1, za drugo polovico - υ cp2 Če nam takšna natančnost ne ustreza, je treba časovne intervale razdeliti še naprej - na štiri, osem itd. deli. V tem primeru je treba nastaviti štiri, osem itd. povprečne vrednosti hitrosti. Strinjam se, tak opis postane okoren in neprijeten. Izhod iz te situacije je že dolgo najden - leži v obravnavi hitrosti kot funkcije časa.

Poglejmo, kako se bo povprečna hitrost spreminjala, ko se bo časovno obdobje, za katerega izračunavamo to hitrost, zmanjševalo. Slika 6 prikazuje graf odvisnosti koordinat materialne točke od časa. Izračunali bomo povprečno hitrost v časovnem intervalu t 0 do t 1, ki se zaporedno približuje vrednosti t 1 do t 0 . Še več, družina sekantov A 0 A 1 , A 0 A 1 ’, A 0 A 1 '' (slika 6), se bo nagibala k določenemu mejnemu položaju premice A 0 B, ki je tangenta na graf zakona gibanja. Predstavimo dva različna primera, da pokažemo, da je trenutna hitrost lahko večja ali manjša od povprečne hitrosti. Ta postopek je mogoče opisati tudi algebraično, z zaporednim izračunom odnosov \(~\upsilon_(cp) = \frac(x_1 - x_0)(t_1 - t_0)\) , \(~\upsilon"_(cp) = \frac( x" _1 - x_0)(t"_1 - t_0)\), \(~\upsilon""_(cp) = \frac(x""_1 - x_0)(t""_1 - t_0)\) In v tem primeru se izkaže, da se te vrednosti približajo določeni natančno določeni vrednosti. trenutna hitrost.

Trenutna hitrost je razmerje med spremembo koordinate točke in časovnim intervalom, v katerem se je ta sprememba zgodila, pri čemer se časovni interval nagiba k nič:

\(~\upsilon = \frac(\Delta x)(\Delta t)\) , pri Δ t → 0 . (2)

Geometrijski pomen trenutne hitrosti je koeficient naklona tangente na graf zakona gibanja.

Tako smo vrednost trenutne hitrosti »vezali« na določen trenutek v času - vrednost hitrosti smo določili v danem trenutku v času, na dani točki v prostoru. Tako imamo možnost obravnavati hitrost telesa kot funkcijo časa ali funkcijo koordinat.

Z matematičnega vidika je to veliko bolj priročno kot podajanje povprečnih hitrosti v številnih kratkih časovnih obdobjih. Vendar pomislimo, ali ima hitrost fizični pomen v danem trenutku? Hitrost je značilnost gibanja, v tem primeru gibanja telesa v prostoru. Za snemanje gibanja je potrebno gibanje opazovati določen čas. Za merjenje hitrosti potrebujete tudi časovno obdobje. Tudi najnaprednejši merilniki hitrosti in radarske naprave merijo hitrost premikajočih se avtomobilov, čeprav v kratkem (približno milijoninko sekunde) časovnem obdobju in ne v nekem trenutku. Zato je izraz "hitrost v danem času" z vidika fizike napačen. Vendar pa se v mehaniki nenehno uporablja koncept trenutne hitrosti, kar je zelo priročno pri matematičnih izračunih. Matematično, logično, lahko razmislimo o prehodu na mejo Δ t→ 0 in fizikalno obstaja najmanjša možna vrednost intervala Δ t, za katero je mogoče izmeriti hitrost.

Ko bomo v prihodnje govorili o hitrosti, bomo mislili na trenutno hitrost. Upoštevajte, da je pri enakomernem gibanju trenutna hitrost enaka predhodno določeni hitrosti, ker pri enakomernem gibanju razmerje \(~\frac(\Delta x)(\Delta t)\) ni odvisno od vrednosti časovnega intervala , zato ostane nespremenjena za poljubno majhne Δ t.

Ker je hitrost lahko odvisna od časa, jo je treba obravnavati kot funkcijočas in ga prikažite kot graf.

Neenakomerno gibanje smo poskušali zreducirati na enakomerno in za to uvedli povprečno hitrost gibanja. Toda to nam ni pomagalo: če poznamo povprečno hitrost, je nemogoče rešiti najpomembnejši problem mehanike - določitev položaja telesa v katerem koli trenutku. Ali obstaja kakšen drug način za zmanjšanje neenakomernega gibanja na enakomerno?

Izkazalo se je, da tega ni mogoče storiti, ker je mehansko gibanje neprekinjen proces. Kontinuiteta gibanja je v tem, da če se na primer telo (ali točka), ki se giblje premočrtno z naraščajočo hitrostjo, premakne iz točke A v točko B, potem mora zagotovo obiskati vse vmesne točke, ki ležijo med A in B, ne da bi kakršne koli opustitve. A to še ni vse. Predpostavimo, da se je telo ob približevanju točki A gibalo enakomerno s hitrostjo 5 m/s, po prehodu točke B pa se je enakomerno gibalo tudi s hitrostjo 30 m/s. V tem primeru je telo za prehod skozi odsek AB porabilo 15 sekund. Posledično se je na odseku AB hitrost telesa v 15 sekundah spremenila za 25 m/s. Toda tako kot telo v svojem gibanju ni moglo mimo nobene točke na svoji poti, je morala njegova hitrost zavzeti vse vrednosti hitrosti med 5 in 30 m/s. Tudi brez izpustov! To je kontinuiteta mehanskega gibanja: niti koordinate telesa niti njegova hitrost se ne morejo sunkovito spremeniti. Iz tega lahko potegnemo zelo pomemben sklep. Obstaja nešteto različnih vrednosti hitrosti v območju od 5 do 30 m/s (v matematiki pravijo, da je vrednosti neskončno veliko). Toda med točkama A in B je neskončno število (neskončno veliko!) točk in 15-sekundni časovni interval, v katerem se je telo premaknilo iz točke A v točko B, je sestavljen iz neskončnega števila časovnih intervalov (tudi čas teče brez skokov). !).

Posledično je imelo telo na vsaki točki poti gibanja in v vsakem trenutku določeno hitrost.

Hitrost, ki jo ima telo v določenem trenutku in na določeni točki poti, se imenuje trenutna hitrost.

Pri enakomernem premočrtnem gibanju je hitrost telesa določena z razmerjem med njegovim gibanjem in časom, v katerem je bilo to gibanje izvedeno. Kaj pomeni hitrost na dani točki ali v danem trenutku?

Predpostavimo, da se neko telo (kot vedno dejansko mislimo na določeno točko tega telesa) giblje premočrtno, vendar ne enakomerno. Kako izračunati njegovo trenutno hitrost v neki točki A njegove trajektorije? Izberimo majhen odsek na tej trajektoriji, vključno s točko A (slika 38). Označimo majhen premik telesa v tem območju z

in kratkem časovnem obdobju, v katerem je bilo opravljeno, z deljenjem z dobimo povprečno hitrost v tem odseku: navsezadnje se hitrost nenehno spreminja in na različnih mestih odseka 1 je različna.

Zmanjšajmo sedaj dolžino odseka 1. Izberimo odsek 2 (glej sliko 38), ki vključuje tudi točko A. V tem manjšem odseku je premik enak in gre telo skozenj v času It jasno je, da ima v odseku 2 hitrost telesa čas, da se spremeni za manjšo količino. Toda razmerje nam še vedno daje povprečno hitrost za to manjše območje. Sprememba hitrosti med odsekom 3 (vključno s točko A), ki je manjši od odsekov 1 in 2, je še manjša, čeprav bomo z deljenjem gibanja s časovnim obdobjem ponovno dobili povprečno hitrost na tem majhnem odseku trajektorija. Postopoma bomo zmanjševali dolžino odseka in s tem čas, v katerem telo ta odsek prehodi. Na koncu bomo odsek trajektorije, ki meji na točko A, skrčili na točko A samo, časovni interval pa na trenutek časa. Takrat bo povprečna hitrost postala trenutna hitrost, ker bo na dovolj majhnem območju sprememba hitrosti tako majhna, da jo lahko zanemarimo, kar pomeni, da lahko domnevamo, da se hitrost ne spreminja.

Trenutna hitrost ali hitrost v dani točki je enaka razmerju med dovolj majhnim gibanjem na majhnem odseku trajektorije, ki meji na to točko, in majhnim časovnim obdobjem, v katerem se to gibanje zgodi.

Jasno je, da je hitrost enakomernega premokotnega gibanja tako njegova trenutna kot povprečna hitrost.

Trenutna hitrost je vektorska količina. Njegova smer sovpada s smerjo gibanja v dani točki, h kateri smo se zatekli, da bi razjasnili pomen

trenutna hitrost, torej sestoji iz naslednjega. Miselno postopoma zmanjšujemo odsek trajektorije in čas, v katerem ga prečkamo, dokler odseka ni več mogoče razlikovati od točke, časovnega obdobja od trenutka v času in neenakomernega gibanja od enakomernega gibanja. Ta tehnika se vedno uporablja pri proučevanju pojavov, pri katerih igrajo vlogo nekatere nenehno spreminjajoče se količine.

Zdaj moramo ugotoviti, kaj moramo vedeti, da bi našli trenutno hitrost telesa na kateri koli točki poti in v katerem koli trenutku.

« Fizika - 10. razred"

Kakšno hitrost kaže merilnik hitrosti?
Ali se mestni promet lahko giblje enakomerno in premo?

Prava telesa (človek, avto, raketa, motorna ladja itd.) se praviloma ne gibljejo s konstantno hitrostjo. Iz stanja mirovanja se začnejo premikati in njihova hitrost postopoma narašča, ko se ustavijo, se hitrost postopoma zmanjšuje, zato se prava telesa gibljejo neenakomerno.

Neenakomerno gibanje je lahko pravokotno ali ukrivljeno.

Če želite v celoti opisati neenakomerno gibanje točke, morate poznati njen položaj in hitrost v vsakem trenutku.

Hitrost točke v danem času se imenuje trenutna hitrost.

Kaj pomeni trenutna hitrost?

Naj točka, ki se giblje neenakomerno in vzdolž ukrivljene črte, v nekem trenutku t zavzame položaj M (slika 1.24). Po času Δt 1 od tega trenutka bo točka zavzela položaj M 1, ko se je premaknila Δ 1. Če vektor Δ 1 delimo s časovnim intervalom Δt 1, dobimo hitrost enakomernega premokotnega gibanja, s katero bi se morala premikati točka, da bi prišla iz položaja M v položaj M 1 v času Δt. To hitrost imenujemo povprečna hitrost gibanja točke v času Δt 1.

Če ga označimo s sr1, zapišemo: Povprečna hitrost je usmerjena vzdolž sekante MM 1. Z isto formulo najdemo hitrost točke z enakomernim linearnim gibanjem.

Hitrost, s katero se mora točka gibati enakomerno in premočrtno, da pride iz začetne lege v končno lego v določenem času, imenujemo Povprečna hitrost premikanje.

Za določitev hitrosti v danem trenutku, ko točka zavzame položaj M, poiščemo povprečne hitrosti za vedno manjša časovna obdobja:

Zanima me, ali je naslednja definicija trenutne hitrosti pravilna: "Hitrost telesa v dani točki na trajektoriji se imenuje trenutna hitrost"?

Ko se časovno obdobje Δt zmanjša, se premik točke zmanjša po velikosti in spremeni smer. V skladu s tem se spreminjajo tudi povprečne hitrosti tako po velikosti kot po smeri. Toda ko se časovni interval Δt približuje ničli, se bodo povprečne hitrosti vedno manj razlikovale med seboj. To pomeni, da ko se časovni interval Δt nagiba k nič, se razmerje nagiba k določenemu vektorju kot svoji mejni vrednosti. V mehaniki se ta količina imenuje hitrost točke v danem trenutku ali preprosto trenutna hitrost in označujejo

Trenutna hitrost točka je vrednost, ki je enaka meji razmerja med gibanjem Δ in časovnim intervalom Δt, med katerim se je to gibanje zgodilo, saj interval Δt teži k nič.

Ugotovimo zdaj smer vektorja trenutne hitrosti. V kateri koli točki trajektorije je vektor trenutne hitrosti usmerjen na enak način kot v meji, saj se časovni interval Δt nagiba k ničli, usmerjena je povprečna hitrost gibanja. Ta povprečna hitrost v časovnem intervalu Δt je usmerjena na enak način kot smer vektorja premika Δ Iz slike 1.24 je razvidno, da se vektor Δ, ki zmanjšuje svojo dolžino, hkrati vrti. Čim krajši postane vektor Δ, tem bližje je tangenti, narisani na trajektorijo v dani točki M, to pomeni, da se sekans spremeni v tangento. torej

trenutna hitrost je usmerjena tangencialno na trajektorijo (glej sliko 1.24).

Zlasti je hitrost točke, ki se giblje vzdolž kroga, usmerjena tangencialno na ta krog. Tega ni težko preveriti. Če se majhni delci ločijo od vrtečega se diska, potem letijo tangencialno, saj imajo v trenutku ločevanja hitrost, ki je enaka hitrosti točk na obodu diska. Zato umazanija izpod koles drsečega avtomobila leti tangencialno na obseg koles (slika 1.25).

Koncept trenutne hitrosti je eden od osnovnih konceptov kinematike. Ta koncept se nanaša na točko. Zato lahko v prihodnosti, ko govorimo o hitrosti gibanja telesa, ki ga ni mogoče šteti za točko, govorimo o hitrosti nekaterih njegovih točk.

Poleg povprečne hitrosti gibanja se za opis gibanja pogosto uporablja tudi povprečna hitrost tal cps.

Povprečna hitrost po tleh je določena z razmerjem med potjo in časom, v katerem je ta pot prevožena:

Ko rečemo, da je vlak potoval od Moskve do Sankt Peterburga s hitrostjo 80 km/h, mislimo prav na povprečno hitrost vlaka med temi mesti. Modul povprečne hitrosti gibanja bo manjši od povprečne hitrosti tal, saj je s > |Δ|.

Za neenakomerno gibanje velja tudi zakon seštevanja hitrosti. V tem primeru se trenutni hitrosti seštejeta.

Za splošne namene je iskanje hitrosti predmeta (v) preprosta naloga: premik (s) v določenem času (s) morate deliti s tem časom (t), to je uporabiti formulo v = s /t. Vendar na ta način dobimo povprečno hitrost telesa. Z nekaterimi izračuni lahko ugotovite hitrost telesa na kateri koli točki poti. Ta hitrost se imenuje trenutna hitrost in se izračuna po formuli v = (ds)/(dt), torej je izpeljanka formule za izračun povprečne hitrosti telesa. .

Koraki

1. del

Izračun trenutne hitrosti

1. Za izračun trenutne hitrosti morate poznati enačbo, ki opisuje gibanje telesa (njegovo lego v določenem trenutku), torej enačbo, na eni strani katere je s (gibanje telesa), na drugi strani pa so izrazi s spremenljivko t (čas). Na primer:
   

   s = -1,5t 2 + 10t + 4

   • V tej enačbi: premik = s. Premik je pot, ki jo prepotuje predmet. Na primer, če se telo premakne 10 m naprej in 7 m nazaj, potem je skupni premik telesa 10 - 7 = 3 m (in 10 + 7 = 17 m). Čas = t. Običajno se meri v sekundah.

2. Če želite najti trenutno hitrost telesa, katerega premik opisuje zgornja enačba, morate izračunati odvod te enačbe. Izpeljanka je enačba, ki vam omogoča, da izračunate naklon grafa na kateri koli točki (kadar koli v času). Če želite najti odvod, diferencirajte funkcijo na naslednji način: če je y = a*x n, potem je odvod = a*n*x n-1. To pravilo velja za vsak člen polinoma.

   • Z drugimi besedami, odvod vsakega člena s spremenljivko t je enak zmnožku faktorja (pred spremenljivko) in potenco spremenljivke, pomnoženo s spremenljivko na potenco, ki je enaka prvotni potenci minus 1. prosti člen (člen brez spremenljivke, to je število) izgine, ker je pomnožen z 0. V našem primeru:
     

     s = -1,5t 2 + 10t + 4
     (2)-1,5t (2-1) + (1)10t 1 - 1 + (0)4t 0
     -3t 1 + 10t 0
     -3t+10

3. Zamenjajte "s" z "ds/dt", da pokažete, da je nova enačba odvod izvirne enačbe (to je odvod s s t). Izpeljanka je naklon grafa na določeni točki (v določenem trenutku). Če želite na primer najti naklon premice, ki jo opisuje funkcija s = -1,5t 2 + 10t + 4 pri t = 5, preprosto nadomestite 5 v izpeljano enačbo.

   • V našem primeru bi morala izpeljana enačba izgledati takole:
     

     ds/dt = -3t + 10

4. Nadomestite ustrezno vrednost t v izpeljano enačbo, da najdete trenutno hitrost v določeni časovni točki. Na primer, če želite najti trenutno hitrost pri t = 5, preprosto nadomestite 5 (za t) v izvedenko enačbe ds/dt = -3 + 10. Nato rešite enačbo:
   

   ds/dt = -3t + 10
   ds/dt = -3(5) + 10
   ds/dt = -15 + 10 = -5 m/s

   • Upoštevajte mersko enoto za trenutno hitrost: m/s. Ker nam je podana vrednost odmika v metrih, čas pa v sekundah, hitrost pa je enaka razmerju med odmikom in časom, je merska enota m/s pravilna.

   2. del

   Grafična ocena trenutne hitrosti

   1. Sestavi graf odmika telesa. V prejšnjem poglavju ste izračunali trenutno hitrost z uporabo formule (izpeljane enačbe, ki vam omogoča, da najdete naklon grafa na določeni točki). Če izrišete graf gibanja telesa, lahko ugotovite njegov naklon v kateri koli točki in s tem določite trenutno hitrost v določenem trenutku.

      • Os Y je premik, os X pa čas. Koordinate točk (x, y) dobimo z zamenjavo različnih vrednosti t v prvotno enačbo premika in izračunom ustreznih vrednosti s.
      • Graf lahko pade pod os X Če graf gibanja telesa pade pod os X, to pomeni, da se telo giblje v nasprotni smeri od točke začetka gibanja. Običajno graf ne bo segal čez os Y (negativne vrednosti x) – ne merimo hitrosti predmetov, ki se premikajo nazaj v času!

   2. Izberite točko P in točko Q blizu nje na grafu (krivulji). Za iskanje naklona grafa v točki P uporabimo koncept meje. Limit – stanje, v katerem se vrednost sekante, narisane skozi 2 točki P in Q, ki ležita na krivulji, nagiba k ničli.

      • Na primer, upoštevajte točki P(1,3) in Q(4,7) ter izračunajte trenutno hitrost v točki P.

   3. Poiščite naklon odseka PQ. Naklon segmenta PQ je enak razmerju razlike v vrednostih koordinat "y" točk P in Q do razlike v vrednostih koordinat "x" točk P in Q. Z drugimi besedami, H = (y Q - y P)/(x Q - x P), kjer je H naklon segmenta PQ. V našem primeru je naklon segmenta PQ:
      

      H = (y Q - y P)/(x Q - x P)
      H = (7 - 3)/(4 - 1)
      H = (4)/(3) = 1.33

   4. Postopek večkrat ponovimo in točko Q približamo točki P. Manjša kot je razdalja med dvema točkama, bližje je naklon nastalih segmentov naklonu grafa v točki P. V našem primeru bomo izvedli izračune za točko Q s koordinatami (2,4.8), (1.5,3.95 ) in (1.25,3.49) (koordinate točke P ostanejo enake):
      

      Q = (2,4,8): H = (4,8 - 3)/(2 - 1)
      H = (1,8)/(1) = 1.8

      Q = (1,5,3,95): H = (3,95 - 3)/(1,5 - 1)
      H = (.95)/(.5) = 1.9

      Q = (1,25,3,49): H = (3,49 - 3)/(1,25 - 1)
      H = (.49)/(.25) = 1.96

   5. Manjša kot je razdalja med točkama P in Q, bližje je vrednost H naklonu grafa v točki P.Če je razdalja med točkama P in Q izjemno majhna, bo vrednost H enaka naklonu grafa v točki P. Ker ne moremo izmeriti ali izračunati izjemno majhne razdalje med dvema točkama, grafična metoda poda oceno naklon grafa v točki P.

      • V našem primeru, ko se je Q približal P, smo dobili naslednje vrednosti H: 1,8; 1,9 in 1,96. Ker se te številke nagibajo k 2, lahko rečemo, da je naklon grafa v točki P enak 2.
      • Ne pozabite, da je naklon grafa na dani točki enak odvodu funkcije (iz katere je graf narisan) na tej točki. Graf prikazuje gibanje telesa skozi čas in, kot je navedeno v prejšnjem razdelku, je trenutna hitrost telesa enaka odvodu enačbe premika tega telesa. Tako lahko trdimo, da je pri t = 2 trenutna hitrost 2 m/s (to je ocena).

   3. del

   Primeri

   1. Izračunajte trenutno hitrost pri t = 4, če je gibanje telesa opisano z enačbo s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9. Ta primer je podoben problemu iz prvega razdelka, z edino razliko, da imamo tukaj enačbo tretjega reda (namesto enačbe drugega).

      • Najprej izračunajmo izpeljanko te enačbe:
        

        s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9
        s = (3)5t (3 - 1) - (2)3t (2 - 1) + (1)2t (1 - 1) + (0)9t 0 - 1
        15t (2) - 6t (1) + 2t (0)
        15t (2) - 6t + 2

        t = 1,01: s = 4(1,01) 2 - (1,01)
        4(1,0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, torej Q = (1,01,3,0704)

      • Zdaj pa izračunajmo H:
        

        Q = (2,14): H = (14 - 3)/(2 - 1)
        H = (11)/(1) = 11

        Q = (1,5,7,5): H = (7,5 - 3)/(1,5 - 1)
        H = (4,5)/(,5) = 9

        Q = (1,1,3,74): H = (3,74 - 3)/(1,1 - 1)
        H = (.74)/(.1) = 7.3

        Q = (1,01,3,0704): H = (3,0704 - 3)/(1,01 - 1)
        H = (.0704)/(.01) = 7.04

      • Ker se dobljene vrednosti H nagibajo k 7, lahko rečemo, da je trenutna hitrost telesa v točki (1.3) enaka 7 m/s (ocenjena vrednost).
   • Če želite najti pospešek (spremembo hitrosti skozi čas), uporabite metodo iz prvega dela, da dobite odvod funkcije premika. Nato ponovno vzemite izpeljanko dobljene izpeljanke. To vam bo dalo enačbo za iskanje pospeška v določenem času – vse kar morate storiti je, da vstavite vrednost za čas.
   • Enačba, ki opisuje y (premik) proti x (času), je lahko zelo preprosta, na primer: y = 6x + 3. V tem primeru je naklon konstanten in vam ni treba uporabiti izpeljanke, da bi ga našli. Po teoriji linearnih grafov je njihov naklon enak koeficientu spremenljivke x, torej v našem primeru = 6.
   • Premik je kot razdalja, vendar ima določeno smer, zaradi česar je vektorska količina. Premik je lahko negativen, medtem ko bo razdalja samo pozitivna.