Important!

O funcție de forma „y = kx + b” se numește funcție liniară.

Factorii de litere „k” și „b” sunt numiți coeficienți numerici.

În loc de „k” și „b” pot fi orice numere (pozitive, negative sau fracții).

Cu alte cuvinte, putem spune că „y = kx + b” este o familie a tuturor funcțiilor posibile, unde în loc de „k” și „b” există numere.

Exemple de funcții precum „y = kx + b”.

• y = 5x + 3
• y = −x + 1
• y = x − 2 k =

  2

  3

  b = −2 y = 0,5x k = 0,5 b = 0

  Acordați o atenție deosebită funcției „y = 0,5x” din tabel. Ei fac adesea greșeala de a căuta coeficientul numeric „b”.

  Când luăm în considerare funcția „y = 0,5x”, este incorect să spunem că nu există un coeficient numeric „b” în funcție.

  Coeficientul numeric „b” este întotdeauna prezent într-o funcție ca „y = kx + b” întotdeauna. În funcția „y = 0,5x” coeficientul numeric „b” este zero.

  Cum să reprezentați grafic o funcție liniară
  "y = kx + b"

  Tine minte!

  Graficul funcției liniare „y = kx + b” este o linie dreaptă.

  Deoarece graficul funcției „y = kx + b” este o linie dreaptă, funcția este numită funcție liniară.

  Din geometrie, să ne amintim axioma (o afirmație care nu necesită dovezi) că prin oricare două puncte se poate trage o dreaptă și, în plus, doar una.

  Pe baza axiomei de mai sus, rezultă că pentru a reprezenta o funcție a formei
  „y = kx + b” ne va fi suficient să găsim doar două puncte.

  De exemplu să construim un grafic al funcției„y = −2x + 1”.

  Să găsim valoarea funcției „y” pentru două valori arbitrare „x”. Să înlocuim, de exemplu, în loc de „x” numerele „0” și „1”.

  Important!

  Atunci când alegeți valori numerice arbitrare în loc de „x”, este mai bine să luați numerele „0” și „1”. Este ușor să faci calcule cu aceste numere.

  Valorile rezultate „x” și „y” sunt coordonatele punctelor de pe graficul funcției.

  Să scriem coordonatele obținute ale punctelor „y = −2x + 1” în tabel.

  Să marchem punctele obținute pe sistemul de coordonate.

  
  

  Acum să tragem o linie dreaptă prin punctele marcate. Această linie va fi graficul funcției „y = −2x + 1”.

  
  

  Cum să rezolvi problemele pe
  funcția liniară „y = kx + b”

  Să luăm în considerare problema.

  Reprezentați grafic funcția „y = 2x + 3”. Găsiți după grafic:

  1. valoarea „y” corespunzătoare valorii „x” egală cu −1; 2; 3; 5;
  2. valoarea lui "x" dacă valoarea lui "y" este 1; 4; 0; −1.

  Mai întâi, să reprezentăm grafic funcția „y = 2x + 3”.

  Folosim regulile prin care suntem superiori. Pentru a reprezenta grafic funcția „y = 2x + 3” este suficient să găsiți doar două puncte.

  Să alegem două valori numerice arbitrare pentru „x”. Pentru comoditatea calculelor, vom alege numerele „0” și „1”.

  Să efectuăm calculele și să le scriem rezultatele în tabel.

  Să marchem punctele obținute pe sistemul de coordonate dreptunghiular.

  

  Să conectăm punctele rezultate cu o linie dreaptă. Linia dreaptă trasată va fi un grafic al funcției „y = 2x + 3”.

  

  Acum lucrăm cu graficul construit al funcției „y = 2x + 3”.

  Trebuie să găsiți valoarea „y” corespunzătoare valorii „x”,
  care este egal cu −1; 2; 3; 5 .

  • Bou" la zero (x = 0);
  • înlocuiți zero cu „x” în formula funcției și găsiți valoarea „y”;
  • Oi".

  În loc de „x” în formula funcției „y = −1,5x + 3”, să înlocuim numărul zero.

  Y(0) = −1,5 0 + 3 = 3

  
  (0; 3) - coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției „y = −1,5x + 3” cu axa „Oy”.

  Tine minte!

  Pentru a găsi coordonatele punctului de intersecție al graficului unei funcții
  cu axa" Bou"(axa x) aveți nevoie de:

  • egalează coordonatele unui punct de-a lungul axei „”. Oi" la zero (y = 0);
  • înlocuiți zero în loc de „y” în formula funcției și găsiți valoarea lui „x”;
  • notați coordonatele obținute ale punctului de intersecție cu axa " Oi".

  În loc de „y” în formula funcției „y = −1,5x + 3”, să înlocuim numărul zero.

  0 = −1,5x + 3
  1,5x = 3 | :(1,5)
  x = 3: 1,5
  x = 2

  
  (2; 0) - coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției „y = −1,5x + 3” cu axa „Ox”.

  Pentru a fi mai ușor de amintit care coordonată a unui punct ar trebui să fie egalată cu zero, amintiți-vă „regula contrariilor”.

  Important!

  Dacă trebuie să găsiți coordonatele punctului de intersecție a graficului cu axa " Bou", atunci echivalăm „y” cu zero.

  Si invers. Dacă trebuie să găsiți coordonatele punctului de intersecție a graficului cu axa „”. Oi", atunci echivalăm „x” cu zero.

Această lecție video pentru un curs de matematică vă va prezenta proprietățile funcției y = k/x, cu condiția ca valoarea lui k să fie negativă.
În lecțiile noastre video anterioare, v-ați familiarizat cu funcția y egal cu k împărțit la x, graficul acesteia, care se numește „hiperbolă”, precum și cu proprietățile graficului pentru o valoare pozitivă a lui k. Acest videoclip vă va prezenta proprietățile coeficientului k atunci când valoarea acestuia este negativă, adică mai mică decât zero.

Proprietățile egalității, în care y este egal cu coeficientul k împărțit la variabila independentă x, cu condiția ca coeficientul să fie negativ, sunt prezentate în videoclip.
Când descriu proprietățile acestei funcții, în primul rând, se bazează pe modelul său geometric - o hiperbolă.

Proprietatea 1. Domeniul unei funcții este format din toate numerele, dar rezultă că x nu poate fi egal cu 0, deoarece nu poți împărți la zero.
Proprietatea 2. y este mai mare decât zero cu condiția ca x să fie mai mic decât zero; și, în consecință, dimpotrivă, y este mai mic decât zero la o valoare când x este în intervalul mai mare decât zero și la infinit.
Proprietatea 3. Funcția crește la intervale de la minus infinit la zero și de la zero la plus infinit: (-∞, 0) și (0, +∞).
Proprietatea 4. Funcția este infinită, deoarece nu are restricții nici de jos, nici de sus.
Proprietatea 5. Funcția nu are nici cele mai mici, nici cele mai mari valori, deoarece este infinită.
Proprietatea 6. Funcția este continuă pe intervalele de la minus infinit la zero (-∞, 0) și de la zero la infinit (0, +∞), și de remarcat că suferă o discontinuitate în cazul în care x are o valoarea zero.
Proprietatea 7. Gama de funcții este unirea a două raze deschise de la minus infinit la zero (-∞, 0) și de la zero la plus infinit (0, +∞).

Următorul videoclip oferă exemple. Ne vom uita doar la câteva dintre ele; vă recomandăm să vizionați personal restul în videoclipurile furnizate.
Deci, să ne uităm la primul exemplu. Este necesar să se rezolve următoarea ecuație: 4/x = 5-x.
Pentru o mai mare comoditate, împărțim soluția acestei egalități în mai multe etape:
1) În primul rând, scriem egalitatea noastră sub forma a două ecuații separate: y = 4/x și y = 5-x/
2) Apoi, așa cum se arată în videoclip, graficăm funcția y = 4/x, care este o hiperbolă.
3) În continuare, construim un grafic al unei funcții liniare. În acest caz, este o linie dreaptă care poate fi construită din două puncte. Graficele sunt prezentate în materialul nostru video.
4) Pe baza desenului în sine, determinăm punctele în care se intersectează ambele grafice, atât hiperbola, cât și linia dreaptă. Trebuie remarcat faptul că ele se intersectează în punctele A (1; 4) și B (4; 1). Verificarea rezultatelor obținute arată că acestea sunt corecte. Această ecuație poate avea două rădăcini 1 și 4.

Următorul exemplu, discutat în lecția video, are următoarea sarcină: construiți și citiți un grafic al funcției y = f(x), unde f(x) = -x2, dacă variabila x este în intervalul de la mai mare decât sau egal cu -2 și mai mare decât sau este egal cu 1 și y = -1/x, dacă x este mai mare decât unu.
Soluția se realizează în mai multe etape. Mai întâi, construim un grafic al funcției y = -x2, care se numește „parabolă”, și selectăm partea sa în zona de la -2 la 1. Pentru a vizualiza graficul, consultați videoclipul.

Următorul pas este să construiți o hiperbolă pentru egalitatea y = -1/x și să selectați partea sa pe raza deschisă de la unu la infinit. Apoi, deplasăm ambele grafice în același sistem de coordonate. Ca rezultat, obținem un grafic al funcției y = f(x).
În continuare ar trebui să citiți graficul funcției y = f(x):
1. Domeniul de definire al funcției este o rază în zona de la -2 la +∞.
2. y este egal cu zero în cazul în care x este egal cu zero; y este mai mic decât zero când x este mai mare sau egal cu -2 și mai mic decât zero și, de asemenea, când x este mai mare decât zero.
3. Funcția crește în zona de la -2 la 0 și în zona de la 1 la infinit, graficul arată o scădere a ariei de la zero la unu.
4. O funcție cu parametri dați este mărginită atât de jos, cât și de sus.
5. Cea mai mică valoare a variabilei y este - 4 și se realizează atunci când valoarea lui x este la nivelul - 2; și, de asemenea, cea mai mare valoare a lui y este 0, care se obține atunci când valoarea lui x este egală cu zero.
6. Într-un domeniu dat de definiție, funcția noastră este continuă.
7. Zona valorii a funcției este situată pe intervalul de la -4 la 0.
8. Funcția este convexă în sus pe segmentul de la -2 la 1 și pe raza de la 1 la infinit.
Vă puteți familiariza cu exemplele rămase urmărind videoclipul prezentat.

Cu care este asociat numele său. Aceasta se referă la o funcție reală a unei variabile reale.

YouTube enciclopedic

• 1 / 5

  Dacă toate variabilele x 1 , x 2 , … , x n (\displaystyle x_(1),x_(2),\dots,x_(n))și șanse a 0 , a 1 , a 2 , … , a n (\displaystyle a_(0),a_(1),a_(2),\dots ,a_(n)) sunt numere reale, apoi graficul unei funcții liniare în (n + 1) (\displaystyle (n+1))-spaţiul dimensional al variabilelor x 1 , x 2 , … , x n , y (\displaystyle x_(1),x_(2),\dots ,x_(n),y) este n (\displaystyle n)-hiperplan dimensional

  y = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n (\displaystyle y=a_(0)+a_(1)x_(1)+a_(2)x_(2)+\dots +a_ (n)x_(n))

  în special când n = 1 (\displaystyle n=1)- o linie dreaptă pe un plan.

  Algebră abstractă

  Termenul „funcție liniară”, sau mai precis „funcție liniară omogenă”, este adesea folosit pentru a descrie o reprezentare liniară a unui spațiu vectorial X (\displaystyle X) peste vreun domeniu k (\displaystyle k)în acest domeniu, adică pentru o astfel de afișare f: X → k (\displaystyle f:X\to k), care pentru orice elemente x , y ∈ X (\displaystyle x,y\in X)și orice α , β ∈ k (\displaystyle \alpha ,\beta \in k) egalitatea este adevărată

  f (α x + β y) = α f (x) + β f (y) (\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y))

  Mai mult, în acest caz, în locul termenului „funcție liniară”, sunt folosiți și termenii liniar funcțional și liniar form - însemnând și liniar omogen funcţia unei anumite clase.

  O funcție liniară este o funcție de forma y = kx + b, definită pe mulțimea tuturor numerelor reale. Aici k este panta (numărul real), b este intercepta (numărul real), x este variabila independentă.

  În cazul particular, dacă k = 0, obținem o funcție constantă y = b, al cărei grafic este o dreaptă paralelă cu axa Ox care trece prin punctul cu coordonatele (0; b).

  Dacă b = 0, atunci obținem funcția y = kx, care este proporționalitate directă.

  Sensul geometric al coeficientului b este lungimea segmentului pe care linia dreaptă o taie de-a lungul axei Oy, numărând de la origine.

  Sensul geometric al coeficientului k este unghiul de înclinare al dreptei față de direcția pozitivă a axei Ox, calculat în sens invers acelor de ceasornic.

  Proprietățile unei funcții liniare:

  1) Domeniul de definire al unei funcții liniare este întreaga axă reală;

  2) Dacă k ≠ 0, atunci domeniul de valori al funcției liniare este întreaga axă reală. Dacă k = 0, atunci domeniul de valori al funcției liniare constă din numărul b;

  3) Egalitatea și imparitatea unei funcții liniare depind de valorile coeficienților k și b.

  a) b ≠ 0, k = 0, prin urmare, y = b - par;

  b) b = 0, k ≠ 0, deci y = kx - impar;

  c) b ≠ 0, k ≠ 0, prin urmare y = kx + b este o funcție de formă generală;

  d) b = 0, k = 0, prin urmare y = 0 este atât o funcție pară, cât și o funcție impară.

  4) O funcție liniară nu are proprietatea de periodicitate;

  Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, prin urmare (-b/k; 0) este punctul de intersecție cu axa absciselor.

  Oy: y = 0k + b = b, prin urmare (0; b) este punctul de intersecție cu ordonata.

  Notă: Dacă b = 0 și k = 0, atunci funcția y = 0 dispare pentru orice valoare a variabilei x. Dacă b ≠ 0 și k = 0, atunci funcția y = b nu dispare pentru nicio valoare a variabilei x.

  6) Intervalele de semn constant depind de coeficientul k.

  a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

  y = kx + b - pozitiv la x din (-b/k; +∞),

  y = kx + b - negativ pentru x din (-∞; -b/k).

  b)k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

  y = kx + b - pozitiv la x din (-∞; -b/k),

  y = kx + b - negativ pentru x din (-b/k; +∞).

  c) k = 0, b > 0; y = kx + b este pozitiv în întregul domeniu de definiție,

  k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

  7) Intervalele de monotonitate ale unei funcţii liniare depind de coeficientul k.

  k > 0, prin urmare y = kx + b crește pe întregul domeniu de definiție,

  k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

  8) Graficul unei funcții liniare este o dreaptă. Pentru a construi o linie dreaptă, este suficient să cunoști două puncte. Poziția dreptei pe planul de coordonate depinde de valorile coeficienților k și b. Mai jos este un tabel care ilustrează clar acest lucru, Figura 1. (Fig. 1)

  Exemplu: Luați în considerare următoarea funcție liniară: y = 5x - 3.

  3) Funcția generală;

  4) Neperiodică;

  5) Puncte de intersecție cu axele de coordonate:

  Ox: 5x - 3 = 0, x = 3/5, prin urmare (3/5; 0) este punctul de intersecție cu axa x.

  Oy: y = -3, prin urmare (0; -3) este punctul de intersecție cu ordonata;

  6) y = 5x - 3 - pozitiv pentru x din (3/5; +∞),

  y = 5x - 3 - negativ la x din (-∞; 3/5);

  7) y = 5x - 3 crește în întregul domeniu de definiție;

  

  site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.